『微積で考える高校物理力学編』出版のお知らせ ──「はじめに」と全目次公開

このたび、YouTubeチャンネル「微積で高校物理」の内容を体系的にまとめた参考書『微積で考える高校物理力学編』をKindleで出版しました。

本記事では、書籍の「はじめに」と、全14章＋付録5本の目次を公開します。書店で本をパラパラめくる感覚で眺めてみてください。

はじめに
目次
さあ、ペンを持って始めましょう

はじめに

本記事をご覧いただき、ありがとうございます。

高校物理の参考書は世の中にたくさんあります。それでもこの本を書いたのは、力学をまず数式で理解することの大切さを、一人でも多くの受験生に伝えたかったからです。

「物理は公式を暗記して当てはめる科目」──そう思っている人ほど、問題が少しひねられただけで手が止まってしまいます。でも、等加速度運動の公式を3つ丸暗記するのではなく、「加速度を積分すれば速度、もう一度積分すれば位置」というたった一つの筋道を押さえるだけで、あの3つの公式は全部自分で導けるようになります。

物理がニガテな人、公式を覚えてもすぐ忘れてしまう人──そういう人にこそ、数式で理解するアプローチが効きます。暗記量が激減して、頭の中がすっきり整理されます。「あ、こうつながっていたのか」と気づく瞬間が増えてきます。そしてそれは、物理がおもしろいと思えるきっかけになるはずです。

「でも、力学って日常のイメージで何となくわかる気がするし、わざわざ数式から入る必要ある？」──そう感じる人もいるかもしれません。たしかに、本書で扱う力学は18世紀に体系化された古典力学と呼ばれるもので、ボールを投げる、坂道を滑る、といった身近な現象を扱うぶん、イメージだけでもある程度ついていける部分はあります。

しかし、大学に進むと状況は一変します。量子力学や相対性理論といった現代物理学では、「電子は波でもあり粒子でもある」「光速に近づくと時間が遅れる」など、日常のイメージからはかけ離れた現象が次々と出てきます。そこではまず数式を受け入れ、数式が語る意味を読み解くところから理解が始まります。イメージが先に来るのではなく、数式が先、イメージはあとからついてくるのです。

では高校の力学はイメージだけで大丈夫かというと、やはりそうはいきません。たとえば「2物体が衝突したあとの速度」や「回転する座標系で現れる見かけの力」を、イメージだけで正しく捉えるのは難しいです。結局、まず数式を立てて、式が語ることを一つずつ解釈し、それを現実の運動にあてはめていく──その積み重ねの先に、みんなが「物理のイメージ」と呼んでいるものが完成するのだと思います。

だからこそ、「数式ではこう書ける」「この式変形はこういう意味だ」というのを、実際に手を動かして、頭に良い汗をかきながら一つずつ理解していってください。それを何度も繰り返すことで、ようやく本当の理解につながります。そしてその経験は、大学でもっと深い物理に出会ったとき、必ず力になるはずです。

本書では、数学を道具として、力学のすべてを一本の筋で丁寧に組み立てていきます。

ただし、本書は大学の教科書をそのまま持ってきたものではありません。あくまで大学受験で戦える力をつけることを第一の目標に据えています。各章の例題や演習問題は入試頻出テーマと直結するように選び、「受験生がつまずきやすいポイント」「問題を解くときに本当に使う考え方」を重点的に扱っています。微積を使うからといって、受験から離れた抽象的な話に終始するのではなく、受験生のかゆいところに手が届く構成を目指しました。

また、初めて微積に触れる方でも無理なく読み進められるよう、式変形は可能な限り丁寧に、一行一行の意味を言葉で補いながら書いています。「ここからここへ、なぜこう変形できるのか」を省略せずに示すことで、途中で迷子にならずに最後までたどり着けるはずです。

本書は、高校物理と大学物理の懸け橋になれる一冊だと思っています。高校で学ぶ力学を数式の言葉でしっかり理解しておけば、大学で出会う物理学への接続がずっとスムーズになるはずです。

本書を通じて、一人でも多くの方が「物理っておもしろい」と感じてくれたら、そしてその先に理学部物理学科という選択肢が浮かんでくれたら、著者としてこれほどうれしいことはありません。

さあ、ペンを持って始めましょう。

空気抵抗のある落下の運動方程式を立てる
1階線形微分方程式（斉次型）の一般解を「変数分離法」で導く
初期条件から任意定数を決定し、特殊解を求める
終端速度（terminal velocity）の物理的意味を理解する
マクローリン展開で「空気抵抗が小さいとき」の極限を確認する

第4章　束縛条件

── 糸・滑車・斜面の拘束を式にする

束縛条件とは何か ── 図形的な制約を式にする
束縛条件の立て方（位置関係を式にし、2回微分して加速度の関係式を導く）
滑車の束縛条件（定滑車、動滑車）
斜面と物体の束縛条件（斜面上の物体と斜面自体の運動）

第5章　力学的エネルギー保存

── 仕事とエネルギーの関係を微積で導く

運動エネルギー変化と仕事の関係式 ΔK = W の導出
保存力とポテンシャルエネルギー U(x) の定義
力学的エネルギー保存則 K + U = const の導出
応用：自由落下、ばね・質量系

第6章　2体問題

── 「足す」と「引く」で2体を1体に分解する

2体の運動方程式と、内力・外力の役割
重心運動方程式（内力は消える！）
相対運動方程式と換算質量 μ = m₁m₂/(m₁+m₂)
重心から見た各粒子の変位
運動エネルギーの分解 K = K_G + K_r
応用：1次元衝突と反発係数によるエネルギー損失

第7章　非慣性系と慣性力

── 加速する座標系に乗ると見える力

慣性系と非慣性系の定義、位置・加速度の変換式
非慣性系での運動方程式の導出
慣性力の定義と物理的意味
例：上昇するエレベーター内のばね振り子（平衡位置は変わるが周期は不変）
見かけの重力の考え方
例：水平加速する乗り物の中の単振り子（見かけの重力が変わると周期も変わる）

第8章　円運動

── 向心加速度を微分で導き、振り子・ループを解く

位置ベクトルの時間微分による速度・加速度の厳密な導出
向心加速度 rω² = v²/r の数学的根拠
接線・法線（向心）方向への運動方程式の分解
例：単振り子（小振幅近似） → 周期 T = 2π√(l/g)
非等速円運動：鉛直面内のループにおける最低速度条件

第9章　回転座標系と慣性力

── 遠心力・コリオリ力・オイラー力の正体

位置ベクトルの分解と、静止系／回転系における時間微分の違い
速度・加速度の変換式の導出（並進＋回転の一般形）
4つの慣性力：並進慣性力、遠心力、コリオリ力、オイラー力
例：回転円盤上の物体（張力・摩擦）、回転台上での球の軌道

第10章　単振動

── ばねの振動を微分方程式で解く

ばね質量系の運動方程式 mẍ = −kx → ẍ + ω²x = 0（ω = √(k/m)）
特性方程式による一般解の導出 x = C₁cosωt + C₂sinωt
振幅・角振動数・周期・位相の物理的意味
初期条件による定数 C₁, C₂ の決定法
単振動のエネルギー E = ½kA² = const（微分で確認）

第11章　力のモーメント・角運動量保存

── 外積を使って回転の運動方程式を導く

外積（ベクトル積）の定義と性質（大きさ、右ねじの方向）
力のモーメント N = r × F（原点まわりのトルク）
角運動量 L = r × p = r × mv
角運動量の定理 dL/dt = N（運動方程式から微積で導出）
角運動量保存則
中心力と面積速度一定（ケプラーの第2法則）

第12章　保存力と非保存力

── エネルギー保存が成り立つ条件を見極める

保存力の定義 F_c(x) = −dU/dx（ポテンシャルの微分で書ける力）
保存力の仕事の経路独立性 W_A→B = U_A − U_B
代表的な保存力のポテンシャル：重力 U = mgy、弾性力 U = ½kx²
非保存力（摩擦力・空気抵抗）の特徴と仕事の計算
一般化されたエネルギー保存則 ΔE_mech = W_nc

第13章　物体の運動範囲の求め方

── ポテンシャルエネルギー曲線から運動を読み取る

運動可能条件 K = E − U(x) ≧ 0 すなわち E ≧ U(x)
折り返し点（turning point）：E = U(x) となる位置
ポテンシャル曲線と力学的エネルギーのグラフの読み方
安定平衡点と不安定平衡点の判定
万有引力ポテンシャルと脱出条件（E ≧ 0）

第14章　万有引力とケプラーの法則

── 惑星の運動を微積と角運動量で統一的に理解する

万有引力の法則と運動方程式
万有引力ポテンシャルの導出（微積による）
円軌道の速度・周期の導き方
角運動量保存とケプラー第2法則（面積速度一定）
ケプラー第3法則 T² ∝ a³ の導出

付録

付録A　微分法 ── 傾きを求める操作をゼロから
付録B　積分法 ── 面積と原始関数の関係
付録C　ベクトル入門 ── 大きさと向きを持つ量の扱い方
付録D　近似計算入門 ── テイラー展開と実用公式
付録E　物理量一覧 ── 力学で使う量と単位の早見表

さあ、ペンを持って始めましょう

物理の勉強で一番大切なのは、手を動かすことです。読んで「わかった気になる」だけでは、本番で手が動きません。

本書の式変形を、ぜひノートに写して、自分の手で再現してみてください。最初は真似からで構いません。何度も繰り返すうちに、「なぜそうなるのか」が体に染み込んできます。

暗記で固まった頭を、筋道で整える一冊になれば嬉しいです。

『微積で考える高校物理力学編』をKindleで読む

YouTubeチャンネル：微積で高校物理

『微積で考える高校物理力学編』出版のお知らせ ──「はじめに」と全目次公開

はじめに

目次

第1章　等加速度運動

第2章　力の書き方・摩擦力